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i – le nombre imaginaire

Le nombre imaginaire, i, est la racine carrée de -1.

La difficulté avec i est qu'il est impossible de trouver un nombre "normal" qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, devienne -1.

Descartes n'aimait pas i et lui donna le nom de "nombre imaginaire", comme une sorte d'insulte. Cependant, suite aux travaux d'Euler et Gauss, i est rapidement accepté à part entière dans les mathématiques.


Les nombres complexes

Quand nous travaillons avec i, c'est souvent pour l'utiliser en tant que partie d'un "nombre complexe". Un nombre complexe a une partie réelle et une partie imaginaire :

C = a + bi

Dans cette équation, C représente un nombre complexe constitué en additionnant la partie réelle, a, à la partie imaginaire, b multipliée par i.

Les mathématiques de l'ensemble de Julia nous imposent d'utiliser les nombres complexes. Quand nous faisons nos images fractales, vous devez imaginer l'axe x sur l'écran comme représentant la partie réelle a du nombre complexe et l'axe y comme représentant la partie imaginaire b.


Générer un ensemble de Julia

Comme vous le verrez en page suivante, nous fournissons au programme les valeurs des parties réelle et imaginaire de C. Ensuite, les objets visitent chaque "pixel" dans la région de l'écran où nous dessinons, la traitant comme un graphe du plan complexe (c'est pour cela que nous avons traité précédemment de la visualisation des nombre complexes).

Les valeurs actuelles de x et y sont considérées comme parties réelle et imaginaire initiales de Z (Z_Real et Z_Im). Ensuite, nous lançons les itérations d'une fonction du type :

Z1 = Z2 + c

Si la valeur de la somme des carrés des parties imaginaire et réelle de Z dépasse 4, nous considérons que cette position s'est "échappée" (si nous continuions les itérations, le nombre deviendrait de plus en plus grand) et nous utilisons le nombre d'itérations effectuées jusque là pour définir la couleur du pixel.

Si la valeur reste inférieure à 4 jusqu'au nombre d'itérations que nous avons fixé, l'emplacement est considéré comme appartenant à l'ensemble de Julia et le pixel est colorié en noir.

L'article de Wikipedia sur l'ensemble de Julia vous sera utile si cette explication succincte n'a pas rendu les mathématiques plus claires.

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